Maschinelles Lernen in Daten-getriebenen Ansätzen zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Machine Learning in Computer Simulations: Maschinelles Lernen in Daten-getriebenen Ansätzen zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Auf dem Gebiet der Numerik beschäftigen sich Dr. Karsten Kahl und Dr. Matthias Rottmann mit  Lösungsverfahren zu linearen Gleichungssystemen. Letztere stammen dabei häufig aus der Diskretisierung partieller Differenzialgleichungen und beschreiben z.B. mechanische oder andere dynamische Wechselwirkungen. Die Lösung dieser Gleichungssysteme erzeugt oft die Hauptrechenlast in wissenschaftlichen Simulationen. Daher ist es wichtig effiziente hoch-skalierende Lösungsverfahren zu entwickeln. Sogenannte Mehrgitter-Verfahren gelten dazu als besonders geeignet. Diese kombinieren ein einfaches iteratives Lösungsverfahren, das für sich genommen das Problem nur sehr langsam löst, mit einer Unterraum-Korrektor, die komplementär wirken soll.

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Die Abbildung zeigt ein illustratives Beispiel der Funktionsweise von Mehrgitterverfahren. Links abgebildet ist der aktuelle Fehler, der Differenz von Lösung und ihrer aktuellen Approximation. Ein paar Schritte des iterativen Verfahrens beseitigen stark oszilierende Fehlerkomponenten, der Fehler wird anschaulich glatt (mitte). Der glatte Fehler lässt sich in einem Unterraum, in diesem Fall durch eine gröbere Auflösung, gut darstellen (rechts). Wenn die Geometrie des Problemes unbekannt ist, greift man auf sogenannten algebraische Mehrgitter-Verfahren zurück. In einer Setup-Phase bedarf es dazu der Generierung von Daten, welche den Teil des zu lösenden Problems beschreiben, mit dem das iterative Verfahren am schlechtesten fertig wird. Anhand dieser Daten wird der glatte Fehler und somit die Wirkung der Unterraum-Korrektur adaptiv bestimmt. Das Erzeugen der Daten kann sowohl speicher- als auch rechenaufwändig werden. Karsten Kahl und Matthias Rottmann setzen Verfahren des maschinellen Lernens ein, die mit wenig Daten lernen können, welche Information zum Aufsetzen der Unterraum-Korrektur wichtig ist. Dazu kommen insbesondere Techniken der Regularisierung zum Einsatz.

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